WWW.UA.Z-PDF.RU

БЕЗКОШТОВНА ЕЛЕКТРОННА БІБЛІОТЕКА - Методички, дисертації, книги, підручники, конференції

 
<< HOME
CONTACTS




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы

Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы
Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«ДИСКРЕТНИЙ АНАЛІЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ (для студентів спеціальності „Економічна кібернетика” денної та заочної форм навчання) ВІННИЦЯ – 2007 ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО – ЕКОНОМІЧНИЙ ...»

-- [ Страница 1 ] --

ПЛОТНІКОВ А.Д.

ДИСКРЕТНИЙ АНАЛІЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

(для студентів спеціальності

„Економічна кібернетика”

денної та заочної форм навчання)

ВІННИЦЯ – 2007

ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО – ЕКОНОМІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра економічної кібернетики

ПЛОТНІКОВ А.Д.

ДИСКРЕТНИЙ АНАЛІЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

(для студентів спеціальності „Економічна кібернетика” денної та заочної форм навчання) Вінниця – 2007 + Плотніков А.Д. Дискретний аналіз: Конспект лекцій (для студентів спеціальності „Економічна кібернетика” денної та заочної форм навчання). – ВФЕУ, 2007, с.

В даному навчально-методичному посібнику в формі структурно-логічних схем та послідовного викладу матеріалу розкривається основний зміст навчальної дисципліни. Матеріал викладається логічно, системно, цілісно.

Чітко формулюються навчальні проблеми дисципліни, визначаються взаємозв’язки між темами і розділами.

Навчально-методичний посібник розглянуто і схвалено на засіданні кафедри економічної кібернетики від 20.01.2007 року протокол № 6 та на засіданні Методичної ради від 24.02.2007 року протокол № 6.

Рецензент: Ревенок В.І.

ВСТУП Предметом дисципліни «Дискретний аналіз» є вивчення основних понять математики, її методів та існуючих алгоритмів розв’язку дискретних задач.

Мета дисципліни «Дискретний аналіз» є формування у майбутніх спеціалістів знань і навичок створення дискретних математичних моделей, розв’язування дискретних задач, у тому числі оптимізаційних.

Студент повинен знати:

- основні поняття теорії множин;

- основні поняття теорії графів;

- основні поняття комбінаторики;

- основні поняття алгебраїчних систем.

Студент повинен вміти:

- будувати дискретні математичні моделі економічних задач;

- розв’язувати теоретико-множинні задачі;

- розв'язувати комбінаторні задачі підрахунку вибірок;

- перераховувати основні типи вибірок;

- використовувати основні алгоритми на графах;

- розв'язувати оптимізаційні алгоритми на графах.

Студент повинен мати навички;

- використання оптимізазійних методів дискретної математики;

- використання програмних продуктів при розв'язанні різноманітних дискретних задач.

Тема: Елементи теорії множин План

1. Поняття множини і способи її задавання.

2. Бінарні відношення.

3. Впорядковані множини.

4. Матроїди Ключові поняття: множина; способи задавання множин; підмножини;

універсам; принцип подвійності; бінарні відношення; відношення порядку;

відображення; потужність множин; матроїди.

Література: [1; 2].

1. Поняття множини і способи її задавання Поняття множини є первинним у математиці, тому воно не може бути визначене за допомогою інших, простіших понять. Інтуїтивно множину розглядають як щось ціле, складене з об’єктів, які називають елементами.

Георг Кантор, засновник теорії множин, казав, що „Множество есть многое, мыслимое нами как единое”.

Іноді множину розглядають як об’єднання різноманітних об’єктів, які мають певну загальну ознаку. Суть цих об’єктів може бути довільною:

атоми, галактики, букви, люди, тварини, числа, книги тощо.

Множини звичайно визначають великими буквами латинського алфавіту: А, В, С... Якщо необхідно, то використовують індекси для визначення множин: А1, С3 тощо. Для визначення елементів множин використовують, як правило, малі букви латинниці: a, b, c..., а також, можливо, з індексами: a1, a2, v3 тощо.

Той факт, що серед елементів множини А є елемент а записують а А і читають: „елемент належить множині А”, або а є елементом А. Тут є символом належності. Якщо елемент а не входить до складу множини А, записують а А і читають: „елемент а не належить А”.

МУЛЬТИМНОЖИНА

–  –  –

Способи задавання множини можуть бути різноманітними і вибір способу залежить як від кількості елементів, з яких складається множина, так і від природи цієї множини.

Найпростіший спосіб задати множину – це перерахувати всі її складові елементи:

А = {а1, а2, а3, а4 }.

Це задавання множини в явній формі.

В загальному випадку, якщо множина має багато елементів, то явнее задавання такої множини громіздке і неможливе. Наприклад, ми не можемо скласти списку всіх цілих парних чисел. Тому множину можна задати, вказавши умову, або властивість Р(х), якому повинні задовольняти всі елементи х заданої множини. Властивість Р(х) називають також предикатом. Ця властивість дозволяє з усієї сукупності об’єктів будь-якої теорії розпізнати елементи даної множини.

Нехай ця властивість задана предикатом Р(х), який є скороченим записом речення „ х є парним числом”.

В цьому випаду множину записують наступним чином:

А = {х Р(х) }.

Читається цей запис так: множина А складається з елементів х таких, що Р(х) (що х е парним числом).

Замість вертикальної риски, яка відділяє означення елемента множини від властивості елементів множини, ставлять також двокрапку:

А = {х: Р(х) }.

Іноді властивість, якою володіють елементи множини, яка розглядається, задають формулою:

А = {х х 1, х R }.

Тут R означає множину всіх дійсних чисел.

В математиці розглядається також множина, яка не має елементів. Така множина називається пустою і визначається:. Наприклад, множина А = {х х2 = - 1, х R}. Тут R – множина дійсних чисел.

Множини можуть знаходитися між собою в різних відношеннях. Дві множини А і В називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Цей факти записують так: А = В. Нехай А = {1,2,3,4 } і В = {3,4,2,1}.

В цьому випадку маємо: А = В.

Операції над множинами На множинах визначають певні теоретико-множинні операції. Результат таких операцій – нова множина. Розглянемо найбільш важливі з цих операцій.

Об’єднанням множин А і В називають множину С, яка містить всі елементи множини А і всі елементи множини В.

Означення:

С = А В.

Таким чином, множину С можна задати наступним чином:

С = {с с А або с В }.

Результат операції об’єднання можна зобразити графічно діаграмою Ейлера-Венна. Графічно результат операції об’єднання множин А і В представлений на Рис. 1.у вигляді заштрихованої області.

–  –  –

Результат операції різниці множин А і В представлений на діаграмі Ейлера-Венна як та частина множини А, яка не має спільних елементів з множиною В. Ця область заштрихована на Рис. 3.

–  –  –

Доповнення множини А представлене на діаграмі Ейлера-Венна як частина множини Г, яка не має спільних елементів з множиною А. Ця область заштрихована на Рис. 4.

–  –  –

Властивості операцій над множинами Щоб записувати і перетворювати теоретико-множинні вирази, необхідно знати властивості операцій над множинами.

Основні з цих властивостей такі:

–  –  –

Друга частина доведення полягає в тому, щоб довести, що якщо певний елемент належить множині N, то він також належить множині М. Цим буде доведена справедливість співвідношення N M.

Тоді зі співвідношень M N i N M виходить, що M = N.

–  –  –

Якщо два елемента a i b знаходяться у даному відношенні R, то цей факт записують (a, b) R, або aRb. Якщо ці елементи не знаходяться у відношенні R, то це записують так: (a,b) R, або a R b.

Деяким з найбільш відомих відношень присвоюють спеціальні назви або визначення. Приклади: еквівалентність (), відношення порядку ( ) або ( ), рівності (=), паралельності ( ), перпендикулярності ( ) тощо.

Очевидно, що будь-яке бінарне відношення R можна розглядати як підмножину прямого добутку певних множин А і В:

R A B.

Лівою областю бінарного відношення R називають множину всіх перших компонент впорядкованих пар, які складають відношення, тобто, R - = {a (a, b) R }.

Правою областю бінарного відношення R називають множину всіх других компонент впорядкованих пар, які складають дане відношення, тобто R+ = {b (a, b) R }.

Наприклад, нехай R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}. Тоді R - = {1,3}, R+ = {1,2,3}.

–  –  –

Перетином бінарного відношення R по елементу а F(R) називають сукупність всіх других (різних) компонентів упорядкованих пар, які складають дане відношення, і таких, у яких компонентою є елемент а.

Визначення: Ra.

Наприклад, для попереднього відношення R маємо: R1 = {1,2,3}, R2 = {}, R3 = {4}, R4 = {}.

Властивості бінарних відношень. Відношення порядку

Бінарне відношення R називають відношенням порядку, якщо воно є антисиметричним і транзитивним. Якщо до того ж це відношення є антирефлесивним, то таке відношення називається відношенням строгого порядку. В протилежному випадку ми маємо відношення нестрогого порядку.

Поняття відношення порядку є дуже важливим в різних додатках. Це відношення пронизує всі сфери людської діяльності. Ієрархія в певному суспільстві – це відношення порядку, відношення (), ( ), (), ( ) є відношеннями порядку.

Прикладом відношення порядку може, наприклад, бути відношення „бути нащадком”, відношення службової ієрархії, відношення „бути меншим дійсним числом” тощо.

Відношення порядку часто визначають впорядкованою парою (А, ) або (A, ), де А – поле відношення порядку, а символи () і ( ) вказують відповідно на відношення строгого і нестрогого порядку. В цьому випадку кажуть, що множина А впорядкована відношенням (або ), або що на множині А введений порядок. В цьому випадку множину А часто називають також впорядкованою множиною.

Бінарне відношення R називається відношенням лінійного порядку, якщо воно є відношенням порядку і для будь-яких a,b F (R) (для будьяких двох елементів поля відношення) або aRb, або bRa. Іншими словами, відношення порядку R називається лінійним, якщо будь-які два елементи його поля знаходяться у відношенні R.

Лінійно впорядковану множину називають також ланцюгом.

Бінарне відношення Називають відношенням часткового порядку, якщо для певних a,b F (R) не має місця ні aRb, ні bRa.

Наприклад, нехай є множина А = {a,b,c}. Очевидно, що на множиністепені 2А = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} визначений частковий порядок відношенням ( ).


Купить саженцы и черенки винограда

Более 140 сортов столового винограда.


Якщо R – частково впорядкована множина, то будь-які два елементи a,b F (R) називають порівнюваними, якщо aRb, або bRa. В протилежному випадку ці елементи називають непорівнюваними. Множину непорівнюваних елементів називають також антиланцюгом впорядкованої множини.

Відзначимо, якщо А F(R) є ланцюгом, то будь-які два елементи з А є порівнюваними.

3. Впорядковані множини

Найменший і найбільший елементи, границі впорядкованої множини Нехай множина А впорядкована відношенням порядку R.

Елемент а А називається найменшим елементом множини А, якщо для всіх b А має місце відношення aRb. Найменший елемент множини А визначають min A.

Елемент b А називають найбільшим елементом множини А, якщо для всіх а А має місце відношення aRb. Найбільший елемент множини А визначають max A.

З цих визначень виходить, що найбільший і найменший елементи впорядкованої множини має лише таку множину, яка впорядкована рефлексивним відношенням R.

Нехай В А є підмножиною множини А. Елемент аА називається мінорантою множини В, якщо для всіх b В має місце відношення aRb.

Множина всіх мінорант множини В позначають В-.

Елемент а А називається мажорантою множини В, якщо для всіх b В має місце відношення bRa. Множину всіх мінорант множини В позначають В+.

Наприклад, нехай множина А = {1,2,3,4} впорядкована відношенням R = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3), (4,3)} і В = {2,3}, C = {2,4}. Тоді маємо наступні міноранти і мажоранти множин В і С: В- = {1,2}, В+ =, С+ = {3}.

Найбільший елемент множини В- називається точною нижньою границею множини В А і позначають inf B = max B-. Символ inf є скороченням від infimum і читається „інфімум”.

Найменший елемент множини В+ називається точною верхньою границею множини В А і означають sup B = max B-. Символ sup є скороченням від supremum і читається „супремум”.

Нехай потрібно знайти точні нижню і верхню границі множин В і С з попереднього прикладу.

Тоді маємо: inf B- = 2, sup B+ не існує, inf C- i sup C+ також не існують.

Функціональні бінарні відношення Бінарне відношення R називають функціональним, якщо з aRb i aRc виходить, що b = c. Іншими словами, бінарне відношення R є функціональним, якщо воно не містить двох різних впорядкованих пар з однією і тією самою першою компонентою.

Всяке бінарне відношення можна розглядати як підмножину прямого добутку певних множин: R A B. В цьому випадку кажуть, що задане відношення R від А до В. В загальному випадку множина А може не співпадати з лівою областю R_, а множина В – з правою областю R+ бінарного відношення R.

Функціональне відношення R A B називається відображенням, якщо R_ = А. В цьому випадку говорять, що є відображення R: А В.

Нехай є відображення R: А В і впорядкована пара aRb, де а А, b B. Елемент а називають прообразом елемента b при відображенні R, а елемент b називають образом елемента а при відображенні R.

Перетин відображення R за елементом а А, записується, крім загального запису Ra, також так: R(a) = {b}.

Відображення R: А В називають функцією, якщо множини А і В є числовими. В загальному випадку розглядають n-місцеві функції, або функції n змінних (аргументів).

Функція f від n змінних є відображенням множини Аn в множину В:

Аn В.

Якщо відображення f є функцією від А до В і b B є образом прообразу а А, то це записують так: f(a) = b.

Отже, принциповою відмінністю понять відображення і функція є той факт, що відображення можуть бути визначені на довільних множинах А і В, а функція – тільки на числових множинах. Відповідно, поняття відображення є загальнішим.

Потужність множин

Множини А і В називаються еквівалентними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначне, або біективне співвідношення.

Еквівалентність множин позначають: А В. Це відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, тобто А А, А В = В А і якщо А В, В С, то А С.

Якщо множини А і В є еквівалентними, визначають, що вони співпотужні, або мають одне і те саме кардинальне число. Кардинальне число множини А, або його потужність позначають Card (A) або А. Якщо множина А кінцева, то її потужність – це число його елементів.

Георг Кантор під потужністю розумів таку властивість множин, яку вони мають, якщо абстрагуватися від якості елементів і їх складу.

Наприклад, якщо множина А має n елементів, то потужність його булеана дорівнює: Card (2A) = aA = 2n.

4. Матроїди

Поняття матроїда грає важливу роль при розробці різноманітних алгоритмів.

Нехай А = {a1, a2,…, an} є певною множиною і S = {A1, А2,..., Am} є непуста сукупність підмножин множини А.

Впорядкована пара M = (A,S) називається матроїдом, якщо:

• Аі Аj для будь-яких Аі,Аj S, якщо і j;



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
Похожие работы:

«Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини Інститут соціальної та економічної освіти Економічний факультет Кафедра туризму та готельно-ресторанної справи Методичні рекомендації з проходження переддипломної практики для студентів економічного факультету галузі знань 1401 Сфера обслуговування, спеціальності 7.140103 Туризмознавство Умань – 2013 Бержанір А.Л., Кожухівська Р.Б. Методичні рекомендації з проходження...»

«Економіка та управління підприємствами УДК 631.115.1 “71” “312” ОСОБЛИВОСТІ ТА ТЕНДЕНЦІЇ РОЗВИТКУ ФЕРМЕРСЬКИХ ГОСПОДАРСТВ У СУЧАСНИХ УМОВАХ ГОСПОДАРЮВАННЯ Ю. Ю. Карлик, кандидат економічних наук. М. Г. Бігдан. Кременчуцький національний університет ім. М. Остроградського _ © Карлик Ю. Ю., 2013. © Бігдан М. Г., 2013. Стаття отримана редакцією 01.08.2013 р. Вступ. Сучасний аграрно-промисловий комплекс є важливим сектором економіки України. У процесі здійснення глибоких ринкових перетворень на...»

«Економічний простір №83, 2014 УДК 65.012.34(045) ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ОРГАНІЗАЦІЇ ТА РОЗВИТКУ МУЛЬТИМОДАЛЬНИХ ПЕРЕВЕЗЕНЬ В УКРАЇНІ Соколова О.Є., к.е.н. E-mail: perevozki@ua.fm Акімова Т.А., к.е.н. E-mail: t_akimova@ukr.net Сулима Л.О., к.е.н. E-mail: m1la1@mail.ru Національний авіаційний університет Транспорт має прямий вплив на ефективність логістичної діяльності, виконує базову функцію у потокових процесах, а також є невід’ємною частиною ринкової інфраструктури. Потреба у зростанні обсягів...»

«Мельниченко О.В. Правове становище подружжя за законодавством України та країн ЄС УДК 347.62 О. В. МЕЛЬНИЧЕНКО Оксана Вікторівна Мельниченко, здобувач Київського університету права НАН України ПРАВОВЕ СТАНОВИЩЕ ПОДРУЖЖЯ ЗА ЗАКОНОДАВСТВОМ УКРАЇНИ ТА КРАЇН ЄС Загальновідомо, що наразі актуальними процесами на загальнодержавному та міжнародному рівнях виступають, по-перше, поступова адаптація українських стандартів до стандартів простору ЄС спільноти, по-друге, внутрішньодержавне зниження...»

«Романюк Л. В. Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского Серия «Юридические науки». Том 26 (65). 2013. № 2-1 (Ч. 2). С. 100-105. УДК 342.9 ПРОБЛЕМИ УДОСКОНАЛЕННЯ ОКРЕМИХ ФОРМ МИТНОГО КОНТРОЛЮ ЯК НЕОБХІДНОЇ СКЛАДОВОЇ МИТНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ Романюк Л. В. Таврійський національний університет імені В. І. Вернадського, м. Сімферополь, АР Крим, Україна Здійснюється аналіз проблеми законодавчого регулювання порядку здійснення особистого огляду як виняткової форми...»

«ПРОГНОЗУВАННЯ ТА ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ЕКОНОМІКИ УДК 005.936(477) Г. С. Фролова, канд. екон. наук, ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана» ФУНКЦІЇ ДЕРЖАВИ В РЕГУЛЮВАННІ ВІДНОСИН ВЛАСНОСТІ Окреслено основні функції держави в регулюванні трансформаційними процесами в системі і відносинах власності на нинішньому етапі розвитку ринкової економіки в Україні. Обґрунтовано, що вдосконалення відносин власності має здійснюватися шляхом формування раціональної структури власності та бюджетних видатків, якісного...»

«Педагогіка і психологія професійної освіти № 5 2012. УДК 378.32(493) Олена Фучила ДОДАТКОВА ОПЛАЧУВАНА ВІДПУСТКА ДЛЯ НАВЧАННЯ ДОРОСЛИХ: ДОСВІД СУЧАСНОЇ БЕЛЬГІЇ На початку ХХІ ст. у промислово розвинутих країнах Європи і світу визнали необхідність неперервної освіти. Але, як правило, дорослі, що працюють, можуть здійснювати таку можливість у вільний від роботи час. Для багатьох із них монотонність роботи та втома забирають сили й енергію, потрібні для вступу на навчання. Альтернативою є лише...»

«УДК 008:130.1 В’ячеслав Іванович Бойко, кандидат філософських наук, доцент, перший проректор Національної академії керівних кадрів культури і мистецтв; Владислав Вікторович Гончаров, здобувач Національної академії керівних кадрів культури і мистецтв ВЗАЄМОДІЯ ТРАДИЦІЙ І НОВАЦІЙ КРІЗЬ ПРИЗМУ ПОГЛЯДІВ ЕНТОНІ ГІДДЕНСА У статті проаналізовано основні праці британського соціолога Ентоні Гідденса, в яких відображено його погляди на традиції. Велику увагу приділено питанню функціонування традицій у...»

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА ДНІ НАУКИ ФІЛОСОФСЬКОГО ФАКУЛЬТЕТУ – 2011 МІЖНАРОДНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ (20–21 КВІТНЯ 2011 РОКУ) МАТЕРІАЛИ ДОПОВІДЕЙ ТА ВИСТУПІВ ЧАСТИНА 3 Редакційна колегія: А.Є. Конверський, д-р філос. наук, проф., чл.-кор. НАН України (голова); С.В. Руденко, канд. філос. наук, доц. (відп. секр.); І.С. Добронравова, д-р філос. наук, проф.; В.Ф. Цвих, д-р політ. наук, проф.; А.М. Лой, д-р філос. наук, проф.; В.І. Лубський, д-р філос. наук, проф.; В.І....»

«Міністерство освіти і науки України ДВНЗ “Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника” Uniwersytet Jagielloсski (Polska) AGH Akademia Gуrniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie (Polska) Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawіa II (Polska) Staropolska Szkoіa Wyїsza w Kielcach (Polska) Paсstwowa Wyїsza Szkoіa Zawodowa im. Jakuba z Paradyїa w Gorzowie Wielkopolskim (Polska) Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича ДВНЗ “Ужгородський національний...»

«УДК 336.1:352(477) Стеценко Т. В. МЕТОДИКА СКЛАДАННЯ АНАЛІТИЧНОГО ДОКУМЕНТУ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ВИКОНАННЯ МІСЦЕВОГО БЮДЖЕТУ М етою написання статті є обґрунтування науково-методичних положень аналітичної робо­ ти з питань місцевих бюджетів та механізмів використання її результатів для розробки регіональ­ ної бюджетної політики. Встановлено, що в Україні відсутня практика формування регулярної ана­ літичної документації за результатами виконання окремих місцевих бюджетів. Запропоновано за­...»

«Серія: Економічні науки УДК 336.078.3 О.Л. Стеблянко, здобувач Житомирський державний технологічний університет МОДЕЛЬ ОРГАНІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОГО ВНУТРІШНЬОГО ФІНАНСОВОГО КОНТРОЛЮ В СИСТЕМІ ДЕРЖЗЕМАГЕНТСТВА: АДАПТАЦІЯ ЗАКОРДОННОГО ДОСВІДУ (Представлено д.е.н., проф. Виговською Н.Г.) Досліджено питання модернізації державного внутрішнього фінансового контролю, проаналізовано можливість адаптації передового закордонного досвіду при формуванні вітчизняної контрольної моделі, обґрунтовано необхідність...»

«УДК: 338:432 Білоусова С.В. АНАЛІЗ ЕФЕКТИВНОСТІ УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ ТА КОНКУРЕНТОСПРОМОЖНІСТЮ НА ПІДПРИЄМСТВАХ АПК. Постановка проблеми. Дослідження конкурентоспроможності підприємства Аграрного сектора в умовах економічної ситуації, яка склалась в Україні, дає змогу розглянути її як комплексну характеристику потенціальних можливостей забезпечення конкурентних переваг в перспективі розвитку підприємства. Проблеми підвищення рівня конкурентоспроможності підприємства сільського господарства є...»




Продажа зелёных и сухих саженцев столовых сортов Винограда (по Украине)
Тел.: (050)697-98-00, (067)176-69-25, (063)846-28-10
Розовые сорта
Белые сорта
Чёрные сорта
Вегетирующие зелёные саженцы


 
2017 www.ua.z-pdf.ru - «Безкоштовна електронна бібліотека»